Shadow Matrix 筆記

尋找如何做出 Shadow matrix 的過程中，發現 HOTBALL'S HIVE 介紹得很好。但是
有些推導過程，中間的步驟很簡明，對於新手的我來說，還是得拿紙筆來演練，
才能順利接上，在此作個筆記。為了一致性，這裡的圖與符號標示，也是沿用該網頁。

目的：給定光源，在已知平面上 （以 normal vector \( \vec P \) 表示）找出平面以外某一點 \( \vec V \)，
在平面上的投影點，然後導出其 Matrix Operation。

如圖，沿著射線，存在ㄧ k 值，使得 \( \vec V \) + k\( \vec L \) 為平面上的交點：
\[ (\vec V + k \vec L) \cdot \vec P = 0 \] \[ k = -\frac{\vec V \cdot \vec P}{\vec L \cdot \vec P} \] 所以投影點為： \[ \begin{align} \vec V + k \vec L &= \vec V - \frac{\vec V \cdot \vec P}{\vec L \cdot \vec P} \vec L \cr &= \frac{\vec V (\vec L \cdot \vec P) - (\vec V \cdot \vec P) \vec L}{\vec L \cdot \vec P} &(\ddagger) \end{align} \] 令 \[ \begin{align} \vec L &= \langle L_x,L_y,L_z,0 \rangle \cr \vec V &= \langle V_x,V_y,V_z,1 \rangle \cr \vec P &= \langle a,b,c,d \rangle \end{align} \] 對於 homogeneous coordinate \( \langle x,y,z,w \rangle \) 而言，w 是分母之意， 亦即對應的 3D coordinate 為 \( \langle x/w, y/w, z/w \rangle \)， 也就是 \( \vec L \cdot \vec P \) 在 homogeneous coordinate 表示下恰為 \( w \) 之值。 展開 \((\ddagger)\) 式子的分子為： \[ \langle V_x,V_y,V_z,1 \rangle (aL_x + bL_y + cL_z) - (aV_x + bV_y + cV_z + d) \langle L_x,L_y,L_z,0 \rangle \] 其中 \(x\) 分量為： \[ V_x(bL_y + cL_z) - V_y(bL_x) - V_z(cL_x) - dL_x \] 同法可得 \(y,z\) 分量，整理得到 shadow matrix: \[ \begin{bmatrix} bL_y + cL_z & -bL_x & -cL_x & -dL_x \cr -aL_y & aL_x + cL_z & -cL_y & -dL_y \cr -aL_z & -bL_z & aL_x + bL_y & -dL_z \cr 0 & 0 & 0 & aL_x + bL_y + cL_z \end{bmatrix} \] 內心獨白： \(\LaTeX\) 打了會上癮！